4-dars. Sanoq sistemalari haqida

Tarixiy ma’lumotlar

Odamlar o‘rtasida muomala vositasi bo‘lmish til kabi sonlarning ham o‘z tili mavjud bo‘lib, u o‘z alifbosiga ega. Bu alifbo raqamlar va sonlarni ifodalash uchun qo‘llaniladigan belgilardan iboratdir. Masalan, kundalik hayotimizda qo‘llanadigan arab raqamlari 1, 2, . . ., 9, 0 yoki sizga 5­sinf matematikasidan ma’lum bo‘lgan Rim raqamlari I, V, X, L, C, D, M sonlar alifbosining elementlari hisoblanadi.

Turli davrlarda turli xalqlar, qabilalar raqamlar va sonlarni ifodalashda turlicha belgilardan foydalanganlar. Masalan, qadimgi Misr o‘nlik sanoq sistemasida sonlar raqamlarning birlashmasi ko‘rinishida yozilgan bo‘lib, har bir raqam ketma­ket 9 martadan ortiq takrorlanmagan:

Masalan, Misr o‘nlik sanoq sistemasida 632107 soni quyidagicha yozilgan:

Mayya sanoq sistemasida 0 raqami va yana 19 ta raqam kiritilgan. Mayya sanoq sistemasi gorizontal yo‘nalishda emas, balki vertikal yo‘nalishda yozilgan. Masalan: 20=1 . 20 + 0; 32 = 1 . 20 + 12;
429 = 1 . 20*2 + 1 . 20 + 9; 4805 = 12 . 20*2 + 0 . 20 + 5.

Qadimda ba’zi xalqlar ishlatadigan sonlar alifbosi beshta (qadimgi Afrika qabilalarida), o‘n ikkita (masalan, inglizlarning sonlar alifbosida), yigirmata (XVI–XVII asrlarda Amerika qit’asida yashagan atstek, mayya qabilalarida; eramizdan avvalgi II asrda G‘arbiy Yevropada yashagan keltlarda; fransuzlarda), ba’zilari oltmishta (qadimgi bobilliklarda) belgini o‘z ichiga olgan. Ular mos ravishda besh raqamli (qisqacha beshlik) sanoq sistemasi, o‘n ikki raqamli (o‘n ikkilik) sanoq sistemasi, yigirmata raqamli (yigirmalik) sanoq sistemasi yoki oltmishlik sanoq sistemasi deb nomlanadi.

Soatning oltmishga, sutkaning o‘n ikkiga karraliligi, bir yilning 12 oydan iboratligi, inglizlarda uzunlik o‘lchov birligi bo‘lmish 1 fut­ ning 12 dyuymga tengligi, fransuzlarning bir franki yigirma suga tengligi turli sanoq sistemalarining qo‘llanilishi natijasidir. Inson har bir sistemani ishlatganda ma’lum vositalardan ham foydalangan. Masalan, o‘n ikkilik sanoq sistemasi uchun vosita sifatida qo‘l barmoqlaridagi bo‘g‘inlardan foydalanilgan. Biz kundalik hayotimizda qo‘llayotgan sonlar alifbosi o‘nta arab raqamini o‘z ichiga olgan bo‘lib, uning kelib chiqishi va qo‘llanilishida tabiiy hisoblash vositasi bo‘lmish qo‘l barmoqlarimiz asosiy o‘rin tutadi.

Sanoq sistemalari turlari

Ma’lumki, harflardan iborat alifboni qo‘llashda ma’lum qonun va qoidalarga amal qilinadi. Sonli alifbodagi belgilardan foydalanishda ham o‘ziga xos qoidalardan foydalaniladi. Bu qoidalar turli alifbolar uchun turlicha bo‘lib, mazkur alifboning kelib chiqish tarixi bilan bog‘liq. O‘z ichiga o‘nta raqamni olganligi uchun bu alifbo o‘zining barcha qoidalari bilan birgalikda o‘n raqamli sanoq sistemasi yoki qisqacha o‘nlik sanoq sistemasi deb ataladi. Sonlar sistemasidagi raqamlar soni shu sistemaning asosi (quvvati) deb yuritiladi.

Sonlar alifbosiga kiritilgan (bir xonali) belgilar raqamlar va ular yordamida hosil qilingan boshqa (ko‘p xonali) belgilar sonlar deb yuritiladi. Masalan, o‘nlik sanoq sistemasida 5, 6, 8 – bu raqamlar, ammo 568 – bu son. O‘nlik sanoq sistemasida birliklar, yuzliklar, mingliklar va boshqalar har biri o‘ntadan belgilardan iborat guruhlarga bo‘lingan: 0, 1, … , 9; 0 ta, 1 ta, …, 9 ta 10; 0 ta, 1 ta, …, 9 ta 100, ….
O‘nlik sanoq sistemasida raqamlar o‘zi turgan o‘rni (razryadi)ga ko‘ra turlicha miqdorni anglatadi. Masalan: a) 999: 9 (to‘qqiz) – birlik; 90 (to‘qson) – o‘nlik; 900 (to‘qqiz yuz) – yuzlik; b) 1991: 1 (bir) – birlik; 90 (to‘qson) – o‘nlik; 900 (to‘qqiz yuz) – yuzlik; 1 (ming) – minglik.

Shu bois ham bu sistema raqamlari o‘z pozitsiyasi (turgan o‘rni) ga bog‘liq bo‘lgan sistema deb ham yuritiladi.
Sanoq sistemalari shu xossasiga ko‘ra raqamlarining pozitsiyasiga bog‘liq bo‘lgan va raqamlarining pozitsiyasiga bog‘liq bo‘lmagan (qisqacha pozitsiyali va pozitsiyali bo‘lmagan) sanoq sistemalariga
bo‘linadi. Pozitsiyali bo‘lmagan sanoq sistemasiga Rim sanoq sistemasi misol bo‘ladi.

Sizga ma’lumki, pozitsiyali sanoq sistemasi bo‘lgan o‘nlik sanoq sistemasida arifmetik amallar bajarish juda qulay, ammo pozitsiyali bo‘lmagan sanoq sistemasi bo‘lgan Rim sanoq sistemasida arifmetik amallar bajarish juda murakkab. Shuning uchun ham ajdodlarimiz raqam va sonlarni aniq bir shakllar tizimiga keltirish masalasiga katta e’tibor qaratganlar.

Pozitsiyali sanoq sistemalari

Pozitsiyali sanoq sistemalarida sonning qiymati raqamlar miqdoriy qiymatining sondagi turgan o‘rni (martabasi, pozitsiyasi, razryadi)ga bog‘liq bo‘lgan holda, yig‘indisi asosida hosil qilinadi. Pozitsiyali sanoq sistemasida sanoq sistemasining asosi raqamlar soniga teng bo‘lib, raqamning miqdoriy qiymati raqamning o‘rni o‘zgarganda necha marta o‘zgarishini aniqlaydi.
Nazariy jihatdan olganda sanoq sistemalarining asosi 2 dan boshlanib, ixtiyoriy bo‘lishi mumkin. Sanoq sistemasi asosi p bo‘lib, p so ni 10 dan ortmasa, u holda raqam sifatida o‘nlik sanoq sistemasi alifbosidagi 0 dan (p–1) gacha bo‘lgan raqamlar qo‘llanadi. Agar p soni 10 dan katta bo‘lsa, u holda qo‘shimcha belgilar, odatda, lotin harflari A harfidan boshlab qo‘llaniladi.

Barcha pozitsiyali sanoq sistemalarida manfiymas butun sonlar quyidagi qoidalar asosida hosil qilinadi:
1) raqamni surish – raqamni sanoq sistemasi alifbosida o‘zidan keyin kelgan raqamga almashtirish, masalan, o‘nlik sanoq sistemasida 0 ni surishda 1 ga, 1 ni surishda 2 ga, 2 ni surishda 3 ga va hokazo almashtirish;
2) eng katta raqamni surish – eng katta raqamni 0 ga almashtirish, masalan, o‘nlik sanoq sistemasidagi 9 ni 0 ga almashtirish. Pozitsiyali sanoq sistemasida butun sonlar quyidagi sanoq qoidasi asosida hosil qilinadi: keyingi son oldingi sonning o‘ngdagi oxirgi raqamini surish orqali hosil qilinadi, agar surishda biror raqam 0 ga aylansa, u holda bu raqamdan chapda turgan raqam suriladi, bunda butun sonning oldiga yozilgan 0 uning qiymatiga ta’sir etmasligi e’tiborga olinadi.
Shu qonuniyatdan foydalanib, butun sonlarni hosil qilishni ko‘rib chiqamiz. 2 lik sanoq sistemasida faqat 0 va 1 raqamlari mavjud: 0; 1.
Keyingi sonlarni hosil qilish:

Sxemada raqamni surish pastdagi, eng katta raqamni surish esa yuqoridagi strelkalar orqali ifodalangan.
Yodda tuting: faqat eng katta raqam surilgandagina undan chapdagi raqam suriladi!
3 lik sanoq sistemasida faqat 0, 1 va 2 raqamlari mavjud: 0; 1; 2. Keyingi sonlarni hosil qilish:

Quyidagi jadvalda asoslari kattaroq sanoq sistemalaridagi sonlar hosil qilingan:

Jadvaldan ko‘rinib turibdiki, turli sanoq sistemalarida o‘xshash sonlar mavjud ekan. Shu sababli bu sonlarni farqlash uchun 102, 105, 1017 kabi belgilash qabul qilingan. Jadvaldan yana quyidagicha xulosa chiqarish mumkin: har qanday pozitsiyali sanoq sistemasining asosi shu sanoq sistemasida 10 soniga teng.
Pozitsiyali sanoq sistemasida yozilgan sonning indeksida sanoq sistemasi asosi ko‘rsatiladi, masalan, 196316, 10012 , 10014 , ADA15. Odatda, agar son 10 lik sanoq sistemasida yozilgan bo‘lsa, u holda sanoq sistemasining asosi ko‘rsatilishi shart emas. Indeksda ko‘rsatilgan sanoq sistemasi asosining qiymati doimo 10 lik sanoq sistemasida deb tushuniladi.
Pozitsiyali sanoq sistemasida sonlarni yozishning quyidagi usullaridan foydalanish mumkin:

1) ixcham (oddiy) ko‘rinish – son raqamlari razryadi bo‘yicha ketma­ket yoziladi:

Qisqacha tarixiy ma’lumot

Abu Abdullo Muhammad ibn Muso al-Xorazmiy

Hozirgi kunda butun dunyo qabul qilgan 10 lik sanoq sistemasining tarixi haqida turli­tuman ma’lumotlar berilmoqda. Ba’zi olimlar 10 lik sanoq sistemasini arab xalqi bilan bog‘lasa, ba’zi olimlar arablar hindlardan olgan, deb yozishadi. Lekin barcha olimlar 10 lik sanoq sistemasini haqiqatda mukammal pozitsiyali sanoq sistemasi sifatida dunyoga tarqalishiga sababchi bo‘lgan inson sifatida buyuk matematik, astronom va geograf, VIII asrning oxiri va IX asrning birinchi yarmida yashab ijod etgan buyuk mutaffakir alloma Abu Abdulloh Muhammad ibn Muso al-Xorazmiyni tan olishadi.

783 ­yilda Xorazmda tug‘ilgan Muso al­Xorazmiy dastlabki ma’lumot va turli sohadagi bilimlarini asosan o‘z yurti – O‘rta Osiyo shaharlarida ijod etgan olim hamda mutafakkirlardan o‘zlashtirgan. Al­ Xorazmiyning qalamiga mansub 20 dan ortiq asarning faqat 10 tasi bizgacha yetib kelgan. Bular «Al­jabr va al­muqobala hisobi haqida qisqacha kitob» (algebraik asar); «Hind hisobi haqida kitob» yoki «Qo‘shish va ayirish haqida kitob» (arifmetik asar); «Kitob surat ul­arz» (geografiyaga oid asar); «Zij», «Asturlob bilan ishlash haqida kitob», «Asturlob yasash haqida kitob», «Asturlob yordamida azimutni aniqlash haqida», «Kitob ar­ruhoma», «Kitob at­tarix» (astronomiyaga oid asar). Bu asarlarning to‘rttasi arab tilida, bittasi Farg‘oniyning asari tarkibida, ikkitasi lotincha tarjimada saqlangan va qolgan uchtasi hali topilgan emas.

Al ­Xorazmiyga dastlabki olamshumul shuhratni «Hisob al-Hind» (Hind hisobi) nomli asari keltirdi. Bu risola amaliy arifmetikaga doir bo‘lib, unda birinchi marta pozitsiyali o‘nli sanoq sistemasi rivojlantirildi. Risolada al­Xorazmiy to‘qqizta hind raqamining sonlarni ifodalashdagi afzalliklari haqida izoh berib, ular yordamida har qanday sonni ham qisqa, ham oson yozish mumkinligini aytadi.

Ayniqsa, nol (0)ni ishlatishning ahamiyatiga urg‘u beradi: «Agar hech narsa qolmasa, martaba bo‘sh qolmasligi uchun doiracha qo‘yib qo‘y; lekin u yerda uni egallovchi doiracha tursin, chunki agarda u yer bo‘sh bo‘lib qolsa, martabalar kamayib qoladi va ikkinchisi birinchining o‘rnida qabul qilinib qoladi va shu bilan sen o‘z soningda yanglishib qolasan». O‘z asarida Al ­Xorazmiy 10 lik sanoq sistemasida (ustunli) qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish va bo‘lish arifmetik amallarni bajarishning mukammal qoidalarini yoritib, ularni turli misollar bilan mustahkamlagan.

Risola «al­Xorazmiy aytdiki» iborasi bilan boshlangan. 1120 ­yilda risola lotin tiliga tarjima qilinganda bu ibora lotin tilida «Dixit Algorizmi» kabi ifodalangan. Ta’kidlash joizki, shu tarjima asosida algoritm atamasi dunyoga tarqaldi. Chunki odamlar qoidalar muallifi bilan bog‘liq «al­Xorazmiy aytdiki» iborasini unutib, faqat qoidalar haqida o‘ylashgan va «algoritm bildiradiki» iborasini ishlatishgan. Tarjimadan so‘ng al­Xorazmiy risolasidan barcha Yevropa shaharlarida birinchi darslik sifatida foydalanilgan.

1. Sonlar alifbosi elementlari haqida so‘zlab bering.
2. Sanoq sistemasi asosi, raqamlar, sonlar haqida ma’lumot bering.
3. Qadimda nima uchun 5 lik, 10 lik yoki 12 lik sanoq sistemasidan foydalanilgan?
4. Rim sanoq sistemasidagi MIM sonining o‘nlik sanoq sistemasidagi qiymatini aniqlash jarayonini izohlang.
5. Pozitsiyali sanoq sistemalari haqida ma’lumot bering.
6. Sanoq qoidasi asosida 7 lik sanoq sistemasida 20 dan 30 gacha bo‘lgan sonlarni hosil qiling.
7. Pozitsiyali sanoq sistemalaridagi sonni ixcham va yoyiq ko‘rinishi orasidagi bog‘liqlikni misollar orqali izohlang.
8. Muhammad al­Xorazmiy ijodi haqida so‘zlab bering.
9. Quyidagi sonlarning yoyiq ko‘rinishini yozing:

1. To‘rtlik sanoq sistemasidagi raqamlar ikkilik sanoq sistemasi raqamlari orqali diada usulida quyidagicha kodlanadi:

A. To‘rtlik sanoq sistemasidagi quyidagi sonlarni diada usu lida kodlang:
a) 2301; b) 232301221; d) 1001010111; e) 100200030001.
B. To‘rtlik sanoq sistemasidagi sonlarni quyidagi diada kodlari asosida dekodlang:
a) 101101; b) 1001000101100000;
d) 100101011100; e) 111000001010.

2. Sakkizlik sanoq sistemasidagi raqamlar ikkilik sanoq sistemasi raqamlari orqali triada usulida quyidagicha kodlanadi:

A. Sakkizlik sanoq sistemasidagi quyidagi sonlarni triada usulidakodlang:
a) 2017; b) 776045456174; d) 1001010111; e) 1234567007.
B. Sakkizlik sanoq sistemasidagi sonlarni quyidagi triada kodlari asosida dekodlang:
a) 101101; b) 100100010110000;
d) 100101011100; e) 111000001010.

3. O‘n oltilik sanoq sistemasidagi raqamlar ikkilik sanoq sistemasi raqamlari orqali tetrada usulida quyidagicha kodlanadi:

A. O‘n oltilik sanoq sistemasidagi quyidagi sonlarni tetrada usulida kodlang:
a) 2017; b) ADADADA; d) 1001010111; e) CAFE17.

B. O‘n oltilik sanoq sistemasidagi sonlarni quyidagi tetrada kod lari asosida dekodlang:
a) 10110100; b) 1001000101100000;
d) 100101011100; e) 111000001010.